Решение иррациональных неравенств онлайн калькулятор с решением

Иррациональные уравнения онлайн калькулятор

Наш калькулятор поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Искусственный интеллект, который лежит в основе калькулятора, даст ответ с подробным решением и пояснениями.

Калькулятор полезен старшеклассникам при подготовке к контрольным работам и экзаменам, для проверки знаний перед ЕГЭ, родителям школьников с целью контроля решения многих задач по математике и алгебре.

Добро пожаловать на сайт Pocket Teacher

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

начать

Иррациональные уравнения

Что такое иррациональные уравнения и как их решать

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень, называются иррациональными. Когда мы имеет дело с дробной степенью, то мы лишаем себя многих математических действий для решения уравнения, поэтому иррациональные уравнения решаются по-особенному.

Иррациональные уравнения, как правило, решают при помощи возведения обеих частей уравнения в одинаковую степень. При этом возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень – это равносильное преобразование уравнения, а в четную – неравносильное. Такая разница получается из-за таких особенностей возведения в степень, таких как если возвести в чётную степень, то отрицательные значения “теряются”.

Смыслом возведения в степень обоих частей иррационального уравнения является желание избавиться от “иррациональности”. Таким образом нам нужно возвести обе части иррационального уравнения в такую степень, чтобы все дробные степени обоих частей уравнения превратилась в целые. После чего можно искать решение данного уравнения, которое будет совпадать с решениями иррационального уравнения, с тем отличием, что в случае возведения в чётную степень теряется знак и конечные решения потребуют проверки и не все подойдут.

Таким образом, основная трудность связана с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень – из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни. Поэтому обязательна проверка всех найденных корней. Проверить найденные корни чаще всего забывают те, кто решает иррациональное уравнение. Также не всегда понятно в какую именно степень нужно возводить иррациональное уравнение, чтобы избавиться от иррациональности и решить его. Наш интеллектуальный калькулятор как раз создан для того, чтобы решать иррациональное уравнение и автоматом проверить все корни, что избавит от забывчивости.

Бесплатный онлайн калькулятор иррациональных уравнений

Наш бесплатный решатель позволит решить иррациональное уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Онлайн решение задач, уравнений, неравенств…

Онлайн решение задач, решение уравнений онлайн,
решение неравенств онлайн, решение интегралов онлайн,
решение логарифмов онлайн, решение пределов онлайн,
нахождение производных онлайн, исследование функции онлайн.

Краткий список обозначений и операторов WolframAlpha
для решения задач онлайн

Примеры решения задач онлайн с помощью WolframAlpha

1. Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.
Пример 1. Чтобы решить уравнение x 2 + 3x – 4 = 0, нужно ввести solve x^2+3x-4=0
Пример 2. Чтобы решить уравнение log₃2x = 2, нужно ввести solve log(3, 2x)=2
Пример 3. Чтобы решить уравнение 25 x-1 = 0.2, нужно ввести solve 25^(x-1)=0.2
Пример 4. Чтобы решить уравнение sin x = 0.5, нужно ввести solve sin(x)=0.5

2. Решение систем уравнений.
Пример. Чтобы решить систему уравнений

нужно ввести solve x+y=5 && x-y=1
Знаки && в данном случае обозначает логическое “И”.

3. Решение рациональных неравенств любой степени.
Пример. Чтобы решить неравенство x 2 + 3x – 4 2 + 3x – 4 2 – x + 8 > 0,

нужно ввести solve x^2+3x-4 0
Знаки && в данном случае обозначает логическое “И”.

5. Раскрытие скобок + приведение подобных в выражении.
Пример. Чтобы раскрыть скобки в выражении (c+d) 2 (a-c) и привести подобные, нужно
ввести expand (c+d)^2*(a-c).

6. Разложение выражения на множители.
Пример. Чтобы разложить на множители выражение x 2 + 3x – 4, нужно ввести factor x^2 + 3x – 4.

7. Вычисление суммы n первых членов последовательности (в том числе арифметической и геометрической прогрессий).
Пример. Чтобы вычислить сумму 20 первых членов последовательности, заданной формулой a_n =n 3 +n, нужно ввести sum n^3+n, n=1..20
Если нужно вычислить сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, у которой первый член a₁ = 3, разность d = 5, то можно, как вариант, ввести a1=3, d=5, sum a1 + d(n-1), n=1..10
Если нужно вычислить сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, у которой первый членb₁ = 3, разность q = 5, то можно, как вариант, ввести b1=3, q=5, sum b1*q^(n-1), n=1..7

8. Нахождение производной.
Пример. Чтобы найти производную функции f(x) =x 2 + 3x – 4, нужно ввести derivative x^2 + 3x – 4

9. Нахождение неопределенного интеграла.
Пример. Чтобы найти первообразную функции f(x) =x 2 + 3x – 4, нужно ввести integrate x^2 + 3x – 4

10. Вычисление определенного интеграла.
Пример. Чтобы вычислить интеграл функции f(x) =x 2 + 3x – 4 на отрезке [5, 7],
нужно ввести integrate x^2 + 3x – 4, x=5..7

11. Вычисление пределов.
Пример. Чтобы убедиться, что

введите lim (x -> 0) (sin x)/x и посмотрите ответ. Если нужно вычислить какой-то предел при x, стремящемся к бесконечности, следует вводить x -> inf.

12. Исследование функции и построение графика.
Пример. Чтобы исследовать функцию x 3 – 3x 2 и построить ее график, просто введите x^3-3x^2. Вы получите корни (точки пересечения с осью ОХ), производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы.

13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Пример. Чтобы найти минимальное значение функции x 3 – 3x 2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести minimize (x^3-x^2),
Чтобы найти максимальное значение функции x 3 – 3x 2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести maximize (x^3-x^2),

Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

ОДЗ (Область допустимых значений)

Помнишь, что такое ОДЗ?

Например, в уравнении присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

При возведении в квадрат получаем 4″> , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше . Значит, решением задачи будет ОДЗ:

Неравенства вида .

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами , , , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись sqrt«> соответствует, например, уравнению sqrt<-1>»> : здесь и .

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

Примеры (реши сам):

1. Применим только что выученное правило:

0\xge -1end right.text< >Leftrightarrow left< beginxne 1\xge -1end right.text< >Leftrightarrow text< >xin left[ -1;1 right)cup left( 1;+infty right)»>

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Неравенства вида 0″> или .

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением . И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

Примеры (реши сам):

Неравенства вида .

В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но это только добавило нам проблем, ведь при этом выражение может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю:

Примеры (реши сам):

3. 0text< >Leftrightarrow text< >«>

0\<^<2>>-3-4>0end right.text< >Leftrightarrow text< >left< beginx>-1\xin left( -infty ;-1 right)cup left( 4;+infty right)end right.text< >Leftrightarrow text< >x>4.»>

Неравенства вида .

Здесь все немного проще: поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной:

-3\xin (-infty ;+infty )end right.Rightarrow xin left[ 0;+infty right)»>

3.
0\x+7 5\x+7
5\(-2)cdot (-9)>0end right.Rightarrow left< beginx>5\left[ beginx 9end right.end right.Rightarrow xin left( 9;+infty right)»>

Неравенства вида .

Тут возможны два варианта. Если , неравенство выполнится при всех допустимых , ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа:

Если же правая часть положительна ( 0″> ), имеем право возводить в квадрат:

ОДЗ, как видим, здесь учтено автоматически. Итак, собираем все в кучу:

Запомни, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны! Тоже своего рода ОДЗ.

Итак, правило в общем виде:

А как будет выглядеть это правило, если неравенство строгое? Вот так:

Подумай сам, почему именно так.

0end right.end right.text< >Leftrightarrow left[ begin-frac<1><4>le xle 1\left< beginxleft( -6 right)le 0\x>1end right.end right.text< >Leftrightarrow «>

1end right.end right.text< >Leftrightarrow text< >xin left[ -frac<1><4>;6 right]text<.>«>

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат (не забыв также, что подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным):

Теперь решаем неравенство (1) по шаблону:

<^<2>>-8x+16\-4ge 0end right.end right.text< >Leftrightarrow text< >left[ begin-2le x

Теперь необходимо сравнить числа , и . Вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

Тогда система превратится в :

Корни степени больше 2

Если же корень в неравенстве не кваlратный, важна четность его степени.

I. Корни четной степени.

Корни , , , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( , , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

1. -2text< >Leftrightarrow text< >2-x><^<5>>text< >Leftrightarrow text< >2-x>-32text< >Leftrightarrow text< >x

-3\xin (-infty ;+infty )end right.Rightarrow xin left[ 0;+infty right)»>

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Иррациональное неравенство — это неравенство, содержащее переменную под корнем

1. Неравенства вида .

2. Неравенства вида 0″> или .

3. Неравенства вида .

4. Неравенства вида .

5. Неравенства вида .

6. Корни четной степени.

7. Корни нечетной степени.

корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

Комментарии

По -моему,у вас перепутаны строгое и нестрогое неравенство и примеры не все решены правильно,проверьте ,пожалуйста. У вас прекрасный сайт!Спасибо!

У Вас в практических задачах в первом и третьем примере не совпадают условие и ответ на него. Исправьте, пожалуйста.

Спасибо, Виталий. Исправил.

Здравствуйте, у вас очень хороший сайт , но много ошибок , есть такое приложение photomath, на телефон про сканируйте пожалуйста свои примеры и ответы , я нашел 4 ошибки (фатальных для ответа). 1)√​2x​2​​−x−5​​​≤√​3x​2​​−6x+1​​​ 2)(x​2​​−9)√​x​2​​−4x+4​​​>0 3)√​2x−1​​​−√​x+2​​​ 0 здесь должно быть >=

Здесь не включая ( скобка круглая) x∈[9;+∞)

Давид, спасибо за найденные ошибки!

В подтеме «Неравенства вида √A ≥ B» в решении первого примера при вычислении (x-1)^2 вы используете квадрат суммы, хотя по логике нужно квадрат разности.

Спасибо, Владимир, исправил ошибку

«»»»»А как будет выглядеть это правило, если неравенство нестрогое? Вот так:»»»» Здесь нужно исправить «нестрогое» на «строгое» «»»»»Подумай сам, почему?

Здравствуйте. Не подскажите что делать если выражение вида : 0 =0.

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.